Elementi di calcolo delle variazioni: l'equazione di Eulero-Lagrange e il teorema del passo montano

In questo elaborato viene presentato un primo approccio al calcolo delle variazioni (CdV), un settore dell'analisi matematica che si occupa della determinazione dei punti critici di particolari applicazioni dette funzionali. Il CdV si interessa principalmente di funzionali espressi in forma integrale, con l'integranda che dipende da una funzione incognita appartenente a una certa classe di funzioni. L'obiettivo consiste spesso nell'individuare la presenza di funzioni estremanti, cioè tali da rendere massimo o minimo il valore del funzionale. Il primo capitolo è dedicato alla ricerca delle funzioni che annullano la variazione prima del funzionale, che è l'analogo della derivata prima per funzioni reali di variabile reale. Si giunge alla formulazione dell'equazione di Eulero-Lagrange, una PDE del secondo ordine di cui gli eventuali estremanti del funzionale sono estremali, cioè soluzioni. Poi studieremo il teorema del moltiplicatore di Lagrange, da cui si deduce l'equazione di Eulero-Lagrange in presenza di un vincolo, che ci consentirà di generalizzare alcuni risultati che esprimono condizioni sufficienti affinché un estremale sia di minimo o di massimo, a seconda che siano verificate determinate ipotesi di convessità e concavità. Nel secondo capitolo affrontiamo alcuni esempi classici del CdV, che consistono nel ricavare e risolvere l'equazione di Eulero-Lagrange corrispondente a una situazione di interesse applicativo: analizzeremo il problema della curva brachistocrona e determineremo la configurazione d'equilibrio di un filo sospeso con le estremità fissate. L'ultimo capitolo è incentrato sulla dimostrazione di un risultato molto importante nella teoria del CdV, il teorema del passo montano, a cui hanno contribuito Antonio Ambrosetti e Paul Rabinowitz, che fornisce un valido strumento per la ricerca dei punti critici di un funzionale. Infine vedremo una possibile applicazione studiando la risolubilità dell'equazione di Poisson non lineare con dato al bordo nullo.