Processi Gaussiani e Machine Learning

In questa tesi si approfondisce la teoria dei Processi Gaussiani utilizzando i modelli di regressione per arrivare alla distribuzione predittiva a posteriori e studiandone le proprietà di differenziabilità per le Greche: in questo senso si introduce il Machine Learning tramite la tecnica del Supervised Learning. Nel primo capitolo si elencano le ipotesi alla base del modello di Black e Scholes e il procedimento per ottenere la formula. Si arriva, così, alla definizione delle Greche utili a valutare la sensibilità del portafoglio rispetto alla variazione dei fattori da cui la formula di Black e Scholes dipende. Nel secondo capitolo, partendo da un modello di regressione lineare, si arriva alla distribuzione predittiva a posteriori. Per superare la limitatezza del modello lineare Bayesiano si introduce un nuovo modello di regressione che conserva la linearità rispetto ai parametri e che viene applicato ad un nuovo spazio detto feature: si ottiene una nuova espressione per la distribuzione predittiva con un minor costo computazionale. Il modello in questione rappresenta un esempio di Processo Gaussiano con media e covarianza definite. Si arriva a trovare un collegamento tra le Greche e i processi Gaussiani: Delta e Gamma, infatti, sono calcolate a partire dalla derivata prima e seconda del processo in questione. Nel terzo capitolo, si applicano i risultati teorici a dati ottenuti con il modello di Black e Scholes. Si fa uso del pacchetto R DiceKriging con le funzioni km, predict e simulate. Il training set è composto dal prezzo della Put, valori della Delta e prezzo del sottostante calcolati con la formula di Black e Scholes, il validation set da 300 osservazioni. Km fornisce la stima dei parametri di covarianza e di media. Predict e simulate restituiscono i valori della media e deviazione standard predetti e i valori degli output dell'insieme test. Infine i metodi si confrontano calcolando gli errori, costo computazionale e memoria.