catene di markov a stati finiti e applicazioni alle equazioni preda-predatore di lotka-volterra

Lo scopo di questa tesi è l'applicazione delle Catene di Markov a tempo continuo al sistema competitivo Lotka-Volterra. Questo elaborato è suddiviso in tre capitoli. Nel primo capitolo presentiamo un'introduzione ai processi di Markov a tempo discreto, nel secondo si derivano, in analogia con la definizione a tempo discreto, le catene di Markov a tempo continuo. Dopo aver presentato le equazioni di Chapman-Kolmogorov si passa ad analizzare il particolare processo markoviano di nascita e morte con tempo continuo, la cui caratteristica peculiare è quella di poter transitare solo negli stati adiacenti. Nell'ultimo capitolo affrontiamo l'applicazione delle catene di Markov al sistema competitivo Lotka-Volterra, noto anche come equazioni preda-predatore, uno dei modelli più popolari in dinamica di popolazione, introdotto indipendentemente dal demografo americano Alfred James Lotka nel 1925 e dal matematico italiano Vito Volterra nel 1926. Il modello stocastico di Lotka-Volterra è un modello di popolazione che ha applicazioni in vari settori di scienze della vita ma è stato applicato anche alle reti neuronali e ai problemi teorici del gioco. La sua analisi è complessa poiché, in primo luogo, presenta uno spazio di stato infinito con tassi illimitati, secondariamente, mostra dinamiche fortemente fluttuanti e diventa instabile nel lungo periodo. I metodi numerici tradizionali non sono quindi appropriati per risolvere il sistema. Qui, presento alcuni adattamenti e combinazioni di metodi tradizionali che producono soluzioni rapide e accurate per determinate gamme di parametri del modello stocastico Lotka-Volterra. Le indagini teoriche sono sostenute da risultati sperimentali ottenuti in Matlab, di cui vengono riportati grafici, con relative considerazioni, e relativo codice, qualora il lettore fosse interessato a ripetere alcune simulazioni o a provarne di differenti.