Teorema della Rappresentazione di Riesz e applicazioni alla teoria spettrale per operatori autoaggiunti limitati

Scopo di questa tesi è dimostrare il teorema del calcolo funzionale continuo e di Borel, il quale ha molteplici conseguenze nella teoria spettrale per operatori lineari limitati in spazi di Hilbert. Cardine della dimostrazione sarà il teorema della Rappresentazione di Riesz per le misure complesse, perciò la tesi è strutturata come segue: nel primo capitolo vi è una sezione dedicata alle definizioni e ai risultati preliminari su cui si basa il seguito della tesi, in particolare il Lemma di Riesz per spazi di Hilbert e il teorema di Stone-Weierstrass. Il secondo capitolo è dedicato alle misure positive e si conclude col teorema di Rappresentazione di Riesz per funzionali lineari positivi su Cc(X), l’insieme delle funzioni continue a supporto compatto su di un opportuno spazio topologico X, dotato della topologia uniforme. Il terzo viene completata la teoria della misura fin lì presentata, introducen- do le misure complesse, il teorema di Radon-Nicodym e, infine, il teorema della Rappresentazione di Riesz per funzionali lineari limitati sul completamento metrico di Cc(X). Il quarto capitolo inizia con la definizione di operatore aggiunto, spettro e risolvente insieme agli enunciati dei relativi teoremi già affrontati nel corso di Analisi Funzionale 1 e ad un esempio di analisi spettrale per operatori di moltiplicazione. Infine vengono presentati il teorema del calcolo funzionale continuo e la sua estensione al calcolo funzionale di Borel con dimostrazione.