Metodo delle Direzioni Alternate per la ricostruzione di immagini Poissoniane

Il problema della ricostruzione di immagini si propone di eliminare dall'immagine acquisita il blur e ridurre il rumore per ottenerne una che sia simile il più possibile all'oggetto esatto. In termini matematici tale ricostruzione si traduce nella minimizzazione di una funzione obiettivo formata da due termini: la divergenza di Kullback-Leibler, che rappresenta la distanza tra l'immagine acquisita e l'immagine ricostruita, e un termine di regolarizzazione in norma L_1, che esprime delle informazioni aggiuntive sulla soluzione. Tuttavia la divergenza di Kullback-Leibler coinvolge un logaritmo; dunque nei casi in cui l'immagine da ricostruire sia costituita da molti pixel neri, è necessario imporre un vincolo di non negatività sull'argomento del logaritmo e sulla soluzione. Il problema di minimo studiato in questa tesi è quindi un problema di ottimizzazione vincolata, in cui nella funzione obiettivo compare anche un vincolo che obbliga la soluzione a essere non negativa. A tal fine l'algoritmo implementato è l'Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM). Il metodo delle direzioni alternate richiede a sua volta l'utilizzo dell'Orthant-Wise Limited Memory Quasi-Newton Method, il quale è un metodo di tipo quasi Newton progettato per la risoluzione di problemi generali di grandi dimensioni, regolarizzati in norma L_1. Per determinare la direzione di ricerca, richiede ad ogni iterazione la risoluzione di un sistema lineare la cui matrice dei coefficienti è la matrice Hessiana. Questa modalità del calcolo della direzione di ricerca non tiene conto della forma dell'Hessiana. Pertanto è stata proposta una modifica al metodo OWLQN che tenesse conto delle caratteristiche peculiari del problema e quindi della forma dell'Hessiana, in modo tale da poter invertire velocemente quest'ultima in uno spazio di Fourier e rendere il metodo più efficiente. Infine, è stata condotta un'analisi sperimentale sull'immagine oggetto di studio, facendo il confronto tra i metodi impiegati.