Superfici a curvatura gaussiana costante negativa

Se S è una superficie differenziabile di R^3, la curvatura gaussiana K(P) di S in un punto P è invariante per isometrie locali e fornisce informazioni sul comportamento di S intorno al punto. Il Teorema Egregium di Gauss asserisce che la curvatura di una superficie dipende solo dalla sua prima forma fondamentale, quindi si può definire anche per una superficie astratta. Nel caso di superfici a curvatura costante la condizione del teorema di Gauss diventa anche sufficiente, in quanto Minding ha mostrato che due superfici con la stessa curvatura costante sono localmente isometriche. Richiedere che la curvatura sia costante su tutta la superficie pone delle condizioni molto restrittive sulla superficie. Esempi di superfici a curvatura costante negativa in R^3 sono la pseudosfera di Beltrami, la superficie di Dini, la superficie di Kuen, che hanno in comune la proprietà che non sono superfici chiuse in R^3, in quanto per avere la regolarità si debbono togliere i punti singolari. Le superfici in cui le geodetiche massimali possono essere definite su tutta la retta reale sono dette superfici complete e tra esse vi sono tutte le superfici chiuse di R^3. Il semipiano iperbolico di Poincaré è una superficie astratta con curvatura gaussiana -1 che gode della proprietà di essere completa. Un famoso teorema di Hilbert del 1901 afferma che in R^3 non esistono superfici complete a curvatura costante negativa. Questo risultato ci dice che in R^3 non esistono modelli della geometria iperbolica.