Il Cyclic Sieving Phenomenon

Questa tesi si ripropone di presentare il cyclic sieving phenomenon (CSP). Tale fenomeno si verifica nell’azione di un gruppo ciclico G su un insieme finito: esso consiste nel fatto che il numero di elementi dell’insieme fissati da ogni sottogruppo di G corrisponde alla valutazione di un polinomio a coefficienti interi in una radice primitiva dell’unità di ordine corrispondente a quello del sottogruppo considerato. Il nostro obbiettivo è quindi di studiare il CSP in determinati contesti algebrici. Nel primo capitolo richiameremo le nozioni necessarie alla definizione del CSP e ne evidenzieremo le caratteristiche fondamentali. Analizzeremo poi il CSP nel contesto dei multinsiemi, soffermandoci sull'azione del gruppo simmetrico su di essi e sull'utilizzo del polinomio gaussiano. Nel quarto capitolo ci occupiamo di studiare il fenomeno del setaccio ciclico nel contesto della Teoria della Rappresentazione, mostrando come il fenomeno possa essere visto come il cambiamento di base all’interno di un G-modulo. Attraverso alcuni risultati della Teoria della Rappresentazione, enunciamo il teorema che garantisce la presenza del CSP in una terna generica sfruttando esclusivamente l’isomorfismo tra G-moduli. Nell’ultima sezione definiremo i tensori simmetrici e li utilizzeremo per fornire un’ulteriore dimostrazione del CSP enunciato nel caso dei multinsiemi. Nel quinto capitolo ci focalizzeremo sullo studio del fenomeno nel contesto dei gruppi generati da riflessioni complesse, sfruttando l’azione libera e semi libera dei gruppi ciclici. Definiremo due importanti algebre, l’algebra gruppo e l’algebra dei coinvarianti, necessarie per enunciare un importante teorema sul CSP che mette in relazione gli elementi precedentemente citati. Quest'ultimo, applicato ai gruppi di Coxeter, nello specifico al gruppo simmetrico, fornisce un'ulteriore dimostrazione del CSP sui multinsiemi.