Gruppi di Galois di ordine dodici

Il problema di Galois inverso consiste nel determinare quali gruppi finiti sono isomorfi al gruppo di Galois di una qualche estensione di campi. Se non si chiede di realizzare il gruppo su un campo fissato, il problema diventa semplice da risolvere. Il problema di Galois inverso diventa più complesso se si studia la possibilità di realizzare un gruppo finito come gruppo di Galois di un’estensione del campo dei razionali, o meglio come gruppo di Galois di un polinomio a coefficienti razionali. Questo problema, posto per la prima volta agli inizi del diciannovesimo secolo e ad oggi ancora irrisolto nella sua formulazione generale, ha visto impegnati numerosi matematici. In questa tesi prendiamo in esame il caso dei gruppi di ordine dodici che, a meno di isomorfismo, sono soltanto cinque e, per ciascuno di essi, diamo un esempio di realizzazione come gruppo di Galois di una certa estensione del campo dei razionali.