Un esempio di metodo diretto nel calcolo delle variazioni

Lo scopo della tesi è quello di esporre le idee di base del calcolo delle variazioni e presentare un esempio di metodo diretto per l'esistenza del minimo, seguendo l'impostazione di L.C. Evans, Partial Differential Equations, cap.8. Nel primo capitolo, oltre alle idee di base (variazione prima, equazione di Eulero-Lagrange, variazione seconda), sono riportati alcuni esempi di problemi variazionali classici. Nel secondo capitolo, nell'ambito delle funzioni a valori scalari, sono esposti i risultati di esistenza del minimo sotto opportune condizioni sufficienti, seguendo il metodo diretto. Si cerca di spiegare da dove sorgono naturalmente queste condizioni e sono riportati controesempi (l'inf non viene raggiunto) nel caso in cui non sia verificata una qualunque di queste condizioni. Il terzo capitolo, infine, si occupa del caso vettoriale; si dà la definizione di lagrangiana nulla e sono mostrate due proprietà (il funzionale definito da una lagr. nulla dipende solo dalle condizioni al bordo e il determinante è una lagr. nulla) che ci permettono una veloce dimostrazione analitica del noto teorema di punto fisso di Brouwer.