L'ombra del buco nero

Questa tesi ha come principale obiettivo quello di esporre un metodo per ricavare le formule in grado di prevedere la forma e le dimensioni dell'immagine di un Buco Nero. Per fare ciò si sono prima introdotti i principali strumenti della geometria differenziale come: varietà, curve, vettori, e tensore metrico, e poi sono state ricavate e studiate le soluzioni di Schwarzschild per le sorgenti statiche, e di Kerr per le sorgenti in rotazione. Tramite l'analisi di queste due soluzioni si sono ricavate le principali caratteristiche di un Buco Nero statico e di uno rotante, in particolare la presenza di uno, per Schwarzschild, o più, per Kerr, orizzonti degli eventi. Gli orizzonti degli eventi rappresentano i punti dove alcuni termini delle metriche di Schwarzschild e Kerr divergono, e sono i limiti non superabili per i segnali provenienti dal Buco Nero. Lo studio delle curve di lunghezza estremante, le geodetiche, è stato lo strumento fondamentale che ha guidato l'intero elaborato. Sono state studiate le geodetiche di tipo luce sia per le traiettorie radiali che per quelle sferiche. In particolare l'analisi delle geodetiche radiali ha portato all'introduzione delle coordinate di Eddington-Finkelstein e di Kerr, in grado di eliminare le singolarità delle metriche in corrispondenza degli orizzonti degli eventi. Per quanto riguarda le traiettorie non radiali si è ottenuta un'unica soluzione stabile per il caso di Schwarzschild, ovvero una sfera fotonica dove si ritrovano le traiettorie circolari e la cui proiezione appare come il caratteristico disco scuro. Per il caso di Kerr si è ottenuta una zona dove si hanno delle traiettorie sferiche e la cui dimensione aumenta all'aumentare della rotazione.