Anelli fattoriali: aspetti algebrici e geometrici

Scopo di questa tesi è quello di presentare alcuni risultati relativi alla fattorialità. Un noto teorema di Gauss assicura che se A è un dominio a fattorizzazione unica allora anche l’anello A[x] lo è; inoltre la fattorialità si conserva localizzando in ideali primi. Un noto Teorema di Auslander e Buchsbaum afferma che ogni anello locale regolare è un dominio a fattorizzazione unica. Esistono caratterizzazioni interessanti per la fattorialità in particolari classi di anelli quali gli anelli di Dedekind e gli anelli noetheriani. Nella seconda parte della tesi viene studiata la fattorialità di anelli di coordinate di varietà, partendo dal lavoro di A. Andreotti e P. Salmon dal titolo “Anelli con unica decomponibilità in fattori primi ed un problema di intersezioni complete”. Il risultato principale di questo lavoro, che poggia sul teorema di Krull dell'ideale principale, asserisce che l'anello A=A/p è fattoriale se e solo se tutte le sottovarietà irriducibili W di codimensione 1 della varietà V=V(p) associata all'ideale p, sono intersezioni complete di V con una ipersuperficie V(f) dello spazio ambiente. Vengono studiati esplicitamente esempi di anelli di coordinate di coniche e quadriche, di indubbio interesse didattico.