Equidistribuzione di Major Index e lunghezza di una permutazione

In questa tesi verranno inizialmente introdotti i concetti di inversione e discesa in una permutazione, per poi trattare il legame che intercorre tra numero di inversioni e numero di discese nelle permutazioni, definiti rispettivamente come lunghezza e Major Index di tali permutazioni. Questo legame consiste nella proprietà di equidistrubuzione di Major Index e lunghezza: in Sn, il numero di permutazioni di lunghezza k coincide con il numero di permutazioni con Major Index pari a k. In questa tesi non verrà però trattata la prova di MacMahon; nel primo capitolo, infatti, si vedrà come costruire una funzione biunivoca di Sn in sé, tale che l'immagine di ogni permutazione abbia tante inversioni quante discese aveva la permutazione di partenza. Nel secondo capitolo si estenderà il risultato all'insieme delle permutazioni segnate Bn: verrà data la definizione di Flag Major Index di una permutazione e, tramite la costruzione di una biiezione di Bn in sé, si vedrà che anche per il Flag Major Index vale la proprietà di equidistribuzione con la lunghezza. Infine, nel terzo capitolo verrà mostrata una scrittura alternativa del Flag Major Index in funzione del Major Index e del numero di elementi negativi nella permutazione segnata considerata.