Teorema di Perron-Frobenius e utilizzo nello studio dell'andamento del traffico

Il Teorema di Perron-Frobenius deve il suo nome ai matematici tedeschi Oskar Perron (1880 - 1975) e Ferdinand Georg Frobenius (1849 - 1917). Fu Perron che per primo si dedicò allo studio di matrici quadrate a entrate positive, e pubblicò nel 1907 il "Teorema di Perron", in cui si dimostra che tali matrici hanno un unico autovalore positivo di modulo massimo, chiamato radice di Perron, e tutti gli altri autovalori diversi da lui hanno modulo minore. L'autovettore associato alla radice di Perron ha componenti tutte positive e ogni altro autovettore a componenti non negative della matrice considerata è un suo multiplo positivo. Frobenius nel 1912 estese questi risultati a matrici quadrate a entrate non negative "Teorema di Perron-Frobenius". Benchè poco conosciuto, questo teorema ha molte applicazioni, per esempio nell'algoritmo di PageRank utilizzato da Google per la ricerca delle pagine, o nel modello di Leslie per prevedere la crescita di una popolazione, etc... Noi faremo vedere come si applica la teoria di Perron-Frobenius allo studio dei sistemi dinamici, indagando lo sviluppo del traffico all'interno di una rete stradale con numero di macchine costante.