Alcune statistiche sulle permutazioni

Una statistica su una classe C di oggetti combinatori è una funzione f: C --> N. Ad esempio, se x è un insieme finito, allora f(x) può essere il suo numero di elementi. Con l'ausilio di alcuni q-analoghi, presentati nel Capitolo 1, saremo in grado di trattare diverse statistiche sulle permutazioni. A partire dalle discese di una permutazione definiremo il "major-index", fulcro del risultato probabilmente più importante del Capitolo 2. Scopriremo infatti, e dimostreremo accuratamente, l'equidistribuzione delle statistiche "major-index" e "numero di inversioni". Da qui, ancora una volta sfruttando le discese, parleremo di numeri e polinomi Euleriani. Dai classici polinomi Euleriani poi costruiremo i cosidetti "polinomi Euleriani segnati", legati ai primi da un'elegante formula. Nel capitolo 3 dimostriamo una particolare proprietà dei numeri Euleriani: la log-concavità.