Modellamenti matematici per la diffusione del calore: le onde termoacustiche del gas di Cattaneo-Christov

In questa tesi presento una rassegna di modelli matematici per la conduzione del calore. In particolare sono interessata a quei modelli che permettono di superare il cosiddetto paradosso della velocità infinita di propagazione di un segnale termico, tipico dei modellamenti parabolici. Una prima soluzione viene da Cattaneo che introduce nella classica equazione di Fourier un tempo di ritardo di risposta, detto tempo di rilassamento termico, rendendo l’equazione del calore da parabolica a iperbolica: in questo modo la velocità di propagazione diventa finita. L’equazione costitutiva di Cattaneo, come le teorie più recenti del doppio ritardo di Tzou, combinate con sviluppi di Taylor a vari ordini, portano a modelli semplificati, in quanto le approssimazioni usate valgono solo per conduttori rigidi e per materiali con piccoli tempi di rilassamento. Per superare tali limiti, con argomenti di termodinamica estesa, ho generalizzato l’equazione di Cattaneo al caso di un gas perfetto barotropico, e ho costruito il modello termo-meccanico di Cattaneo-Christov, la cui iperbolicità è stata dimostrata usando il formalismo delle superfici caratteristiche. Si dimostra che un’onda acustica di propaga insieme a quella termica, accoppiando così gli effetti dei due suoni. Sono commentate possibili applicazioni del modello in ambito astrofisico.