Funzioni armoniche e formule di media

In questa tesi abbiamo definito una soluzione del classico problema di Dirichlet per il Laplaciano in un arbitrario dominio limitato di R^n. Siamo partiti dallo studio delle funzioni armoniche, funzioni che risolvono l’equazione di Laplace; in seguito abbiamo definito le identità e la funzione di Green con le quali abbiamo dimostrato le formule di rappresentazione del medesimo. Successivamente, descritti il nucleo di Poisson e le formule di media, sono state analizzate alcune conseguenze di quest’ultime, quali la disuguaglianza di Harnack, il Teorema di Liouville e il principio del massimo e del minimo debole e forte. Infine abbiamo illustrato un criterio di risolubilità chiamato metodo di Perron per funzioni subarmoniche.