Asymptotic analysis for a model of tumor growth: from a cell density model to a Hele-Shaw problem

In questa tesi si presenta l'analisi asintotica di un modello di crescita tumorale, seguendo l'articolo The Hele–Shaw Asymptotics for Mechanical Models of Tumor Growth (2014) di Perthame B., Quiròs F. e Vàzquez J.L. Tramite l'analisi asintotica è possibile costruire una correlazione tra i due principali approcci utilizzati nella descrizione del fenomeno: modelli della densità cellulare e problemi a frontiera libera. I primi descrivono l'evoluzione della popolazione cellulare e la sua interazione con fattori esterni (ossigeno, glucosio, sostanze chimiche) attraverso sistemi di equazioni differenziali. I secondi descrivono il movimento del tumore attraverso modelli a frontiera libera, in quanto, nelle prime fasi del suo sviluppo, i contorni del tumore sono ben definiti. Nel modello illustrato in questa tesi, si assume che il movimento delle cellule sia guidato dalla legge di Darcy, la quale è solitamente usata per descrivere il flusso di un fluido in un mezzo poroso. Si considera quindi una PME (porous medium equation) che governa l'evoluzione della densità cellulare. Si dimostra che il limite della soluzione dell'equazione esiste e soddisfa un problema a frontiera libera del tipo Hele-Shaw. Si dimostra inoltre l'unicità di tale soluzione limite. I risultati analoghi vengono dimostrati anche per un sistema che comprende una seconda equazione di diffusione-reazione, la quale descrive l'evoluzione della concentrazione di generici nutrienti (solitamente ossigeno e glucosio).