Insiemi di perimetro finito e superfici minime in gruppi di Carnot.

In questo elaborato ci proponiamo di presentare i primi risultati riguardanti la teoria degli insiemi di perimetro finito e le superfici minime nei Gruppi di Carnot. In nostro scopo sarà infatti quello di studiare l’estensione di alcuni risultati riguardanti la teoria dall'ambito euclideo ai gruppi di Carnot. Negli ultimi anni l'interesse verso queste strutture matematiche è cresciuto ed alcuni classici problemi riguardanti la teoria geometrica della misura sono stati studiati in questo ambito. Dopo una breve introduzione ai gruppi di Carnot, ci soffermiamo prima su alcuni risultati di base riguardanti la teoria come il teorema di struttura delle funzioni BV e la disuguaglianza Isoperimetrica e su alcune semplici proprietà degli insiemi di perimetro finito per poi passare a trattare la questione della rettificabilità. Dimostriamo in particolare il teorema di Blow-up, che porta all'esistenza di un piano tangente generalizzato in ogni punto della frontiera ridotta di un insieme di perimetro finito. Cercheremo poi estendere il classico teorema di rettificabilità De Giorgi che permette di dare una caratterizzazione geometrica agli insiemi di perimetro finito, la cui definizione è puramente funzionale. Ci focalizziamo poi su alcuni risultati riguardati la teoria delle superfici minime. Proveremo un risultato di esistenza e vedremo un metodo di calibrazione che permette di dare condizioni sufficienti affinché un insieme minimizzi la misura perimetro ed esibire alcuni esempi di superfici minime. Qui troveremo una delle principali differenze con il caso euclideo. Se in ambito euclideo De Giorgi risolve completamente il problema della regolarità delle superfici minime, mostrando che in dimensione maggiore o pari a otto esistono dei coni minimizzanti (i coni di Simons), il problema della regolarità nei gruppi di Carnot è ancora aperto. Esempi di superfici minime con regolarità minore di quella C^1 possono essere trovati già nei primi semplici esempi presi in esame.