Misure di Hausdorff e formula dell'area in R^n

La misura di Lebesgue permette di misurare il volume degli oggetti n-dimensionali di R^n, ma tutti quelli di dimensione inferiore s come le superfici sono sottoinsiemi di R^n di misura di Lebesgue nulla. Non potendo definire una nozione, ad esempio, di "area" attraverso suddivisioni successive come per la lunghezza di una curva si ricorre alla teoria della misura definendo la misura di Hausdorff s-dimensionale. Viene dapprima esposta la teoria della misura nella sua generalità, con alcune proprietà delle misure astratte e della sigma-algebra di Borel, una loro classificazione e alcuni teoremi di ricoprimento (in particolare quello di Vitali) a cui si farà ricorso dopo. Successivamente vengono introdotte la premisura e misura di Hausdorff H^s, alcune sue prime proprietà e la dimensione di Hausdorff dim_H. Viene studiato il comportamento di H^s e dim_H sotto l'effetto di funzioni lipschitziane e bilipschitziane con studio della dimensione di Hausdorff dell'insieme di Cantor e un breve accenno ai frattali e la loro relazione con le funzioni bilipschitziane. Un tema centrale per poter introdurre la formula di area è la simmetrizzazione di Steiner: ne vengono dimostrate le proprietà principali e attraverso di essa si dimostra la disuguaglianza isodiametrica e l'uguaglianza tra le misure di Hausdorff e di Lebesgue, quando s=n. Infine si dimostra la formula dell'area dapprima per insiemi piatti e poi per insiemi parametrizzabili e nell'Appendice si giustifica l'utilizzo della costante di normalizzazione nella definizione di H^s.