Equazioni di Maxwell e forme differenziali

Scopo di questo elaborato è presentare la derivazione delle equazioni di Maxwell alla base dell'elettromagnetismo utilizzando le forme differenziali. Il primo capitolo è dedicato allo studio in R^n delle forme differenziali, che scriveremo in coordinate, e delle loro principali proprietà. Dopo aver definito il differenziale esterno, parleremo di chiusura ed esattezza di una forma, per poi dedicarci alla nozione di operatore di Hodge, grazie al quale introdurremo la divergenza e il rotore di un campo vettoriale. Successivamente lavoreremo in un opportuno spazio con coordinate spazio-temporali, in cui verranno trattate le equazioni di Maxwell, dotandolo della metrica minkowskiana. Nel secondo capitolo si definiscono le equazioni di Maxwell nel vuoto tramite l'uso di una scrittura sintetica che sfrutta i concetti precedentemente sviluppati e si dimostra la loro invarianza per trasformazioni di Lorentz. In particolare ricaveremo, sia in termini di forme differenziali sia di campi vettoriali, le quattro classiche equazioni dell'elettromagnetismo e le utilizzeremo per ottenere quelle che decrivono la propagazione delle onde nello spazio-tempo.