Ricostruzione di immagini a colori tramite SVD

In questa Tesi ci siamo occupati dello studio delle immagini a colori e del modello che regola il processo di sfuocamento delle immagini. Poiché questo è solitamente un problema mal posto, l'obiettivo della nostra tesi sarà quello di cercare di ricostruire l'immagine a colori scelta, della quale conosciamo la sua immagine esatta. Quindi ci siamo chiesti se è possibile filtrare l'immagine sfuocata (alla quale aggiungiamo anche rumore) per migliorarla, cercando di "ripulirla" e provando a ricostruire l'immagine aggiungendo le informazioni che sono state nascoste durante il processo di sfuocamento. Il raggiungimento dell'obiettivo, tramite filtraggio con l'SVD o Decomposizione a valori singolari, è stato facilitato da vari elementi: infatti la matrice $A_{blur}$ è una matrice circolante a blocchi con blocchi circolanti e grazie alle sue proprietà siamo riusciti ad ottimizzare il nostro metodo. Inoltre anche le proprietà del prodotto di Kronecker ci hanno permesso di migliorare il primo metodo semplicemente tenendo indicato il prodotto, senza quindi calcolarlo esplicitamente. Infine tramite la trasformata discreta di Fourier (DFT) abbiamo potuto ricostruire l'intera immagine. Dopo aver realizzato e provato i tre test creati noteremo che a fronte di un aumento dell'errore relativo avremo un minor costo computazionale e la possibilità di poter ricostruire l'immagine interamente.