Metodo del gradiente stocastico in ricostruzione di immagini tomografiche.

Nell'ambito dell'analisi numerica la tomografia si traduce in problemi di ottimizzazione dalle dimensioni molto elevate (dell'ordine di diversi terabyte) da risolvere nel minor tempo possibile. Si è pensato di testare l'approccio stocastico già presente nel machine learning (ulteriore ambito in cui sono presenti problemi con insiemi di dati molto grandi), per conoscerne l'eventuale compatibilità coi problemi di imaging sparsi e di grandi dimensione. Viene utilizzato il metodo del gradiente stocastico con diversi mini-batch e confrontato con il metodo deterministico del gradiente proiettato, implementato con accelerazione del passo e senza scaling. Dopo una contestualizzazione storica, si procede con la formalizzazione analitica, deducendo dalla legge di Lambert Beer nel caso mono-materiale quella nel caso reale. Si introduce il metodo analitico della retro proiezione filtrata (FBP) e si giunge all'approccio numerico con la descrizione del sistema lineare ottenuto dalla discretizzazione della trasformata della legge sopracitata. Il secondo capitolo della tesi è dedicato alla descrizione degli algoritmi dei metodi numerici di ottimizzazione classici e stocastici. Vengono infine allegati i dettagli e i risultati dello studio svolto implementando al calcolatore quanto riportato nei capitoli precedenti, variando diversi parametri al fine di cercare di comprendere l'effettiva efficacia di un metodo stocastico in alternativa ad uno deterministico. Si vedrà che la natura aleatoria del metodo si riscontra nel repentino cambio dell'andamento dell'errore, che varia di un ordine di grandezza in corrispondenza di un lieve cambio del mini-batch. Nelle prove discusse, risulta ancora essere più prestante il metodo deterministico del gradiente proiettato sia per i tempi di esecuzione sia per la precisione del risultato, sebbene queste esperienze abbiano aperto molti spunti di riflessione e suggerito un'indagine più approfondita di diverse casistiche.