Eliminazione e mappe polinomiali tra varietà proiettive

Uno dei problemi computazionali in geometria algebrica è quello di trovare equazioni cartesiane per varietà definite attraverso parametrizzazioni o per varietà che si ottengono proiettando una data varietà su uno spazio affine o proiettivo di dimensione più bassa. C'è una profonda differenza fra il caso affine e quello proiettivo, in quanto l'immagine di una varietà affine mediante una mappa polinomiale può non essere una varietà affine, mentre nel caso proiettivo lo è sempre. Essendo una varietà algebrica il luogo degli zeri di un numero finito di polinomi, uno strumento fondamentale per ottenere le equazioni che descrivono la varietà viene dalla teoria dell'eliminazione. Questa teoria è una generalizzazione del metodo di eliminazione di Gauss per sistemi lineari, precisamente è lo studio dei metodi che permettono di trasformare un sistema di equazioni polinomiali in più variabili in un sistema equivalente in cui alcune equazioni dipendono solo da un sottoinsieme dell'insieme delle variabili di partenza. Un grande passo in avanti nella teoria dell'eliminazione si è avuto con l'introduzione delle basi di Gröbner di un ideale I nell'anello dei polinomi in più variabili a coefficienti in un campo K rispetto a un ordine monomiale fissato. Tali basi sono state introdotte indipendentemente da Heisuke Hironaka (1964) per la dimostrazione del suo famoso Teorema di Desingolarizzazione e da Bruno Buchberger nei sui studi sugli anelli polinomiali (1965). Queste basi si sono presto rivelate uno strumento essenziale per la teoria dell'eliminazione, le sue applicazioni e i suoi aspetti computazionali. Grazie al Teorema di Eliminazione si riescono a scrivere le equazioni cartesiane della più piccola varietà contenente una parametrizzazione (polinomiale o razionale) o contenente la proiezione di una varietà data.