Le proprietà dei frattali

Il componimento tratta delle proprietà dei frattali da un punto di vista analitico. I frattali sono figure geometriche il cui motivo identico, sempre più piccolo iterativamente, viene ripetuto infinite volte senza perdere la struttura della figura di partenza. Per queste figure non sono validi i postulati della geometria euclidea. L’elaborato è articolato in quattro parti. La prima è un’introduzione alla matematica dei frattali con esempi di frattali biomorfi, cioè presenti in natura. La parte finale del primo capitolo riguarda due metodi per la riproduzione di queste figure. Nel secondo capitolo è introdotta la misura di Hausdorff, poiché i frattali non hanno dimensione intera. Il terzo capitolo caratterizza gli insiemi autosimilari e, dopo la definizione di dimensione similare, vengono riportati dei brevi esempi di verifica del teorema di Hutchinson per tre frattali introdotti nel capitolo precedente: l’insieme di Cantor, la curva di Koch e il triangolo di Sierpinski. L’ultimo capitolo risulta più applicativo: vengono riportati i passaggi, attraverso un modello fisico, per il calcolo del Laplaciano sul triangolo di Sierpinski. Con l’intento di arrivare a questo obiettivo viene costruito il grafo del triangolo come modello su cui operare. Il capitolo si chiude con la riformulazione di alcune definizioni analitiche.