Il teorema di Gauss-Bonnet

La tesi tratta del teorema di Gauss-Bonnet per superfici astratte.L'elaborato ha come finalità la dimostrazione di tale teorema, sia da un punto di vista locale, sia da un punto di vista globale. Il teorema di Gauss-Bonnet locale studia curve chiuse in un intorno coordinato di una superficie differenziabile orientata qualsiasi, mettendo in relazione la curvatura gaussiana della superficie, la curvatura geodetica della curva e la somma degli angoli nei punti di singolarità della curva. Globalmente invece il teorema esprime una relazione tra l'integrale della curvatura gaussiana rispetto all'elemento d'area della superficie e una costante topologica detta caratteristica di Eulero. Per raggiungere tali risultati affronteremo lo studio di concetti quali la connessione, il fibrato tangente e il fibrato vettoriale. Vedremo in particolare come introdurre una struttura di fibrato vettoriale in rette complesse sul fibrato tangente di una superficie orientata, e useremo abbondantemente nella dimostrazione questo strumento.