Modelli di diffusione e reazione, parabolici e iperbolici, per la propagazione dell'hantavirus

In questa tesi presento alcuni modellamenti matematici per la diffusione di epidemie, sia in ambito discreto che in quello continuo. In particolare mi occupo dell'infezione da Hantavirus. Dal momento che il virus può essere fatale, risulta di particolare rilevanza lo studio della sua propagazione. Inizialmente, in questa tesi, metto a confronto tre differenti modelli per la diffusione di infezioni: il modello di diffusione e reazione di Fisher-Kolmogoroff ad una popolazione nel continuo, il modello di Abramson e Kenkre a due popolazioni nel discreto ed il modello SIR di Kermak e McKendrick a tre specie nel discreto. Successivamente propongo la generalizzazione spaziale del modello di Abramson e Kenkre a due popolazioni, introducendo i termini di diffusione nelle equazioni del modello. Ottengo così un modello di diffusione e reazione descritto da due equazioni alle derivate parziali paraboliche e interagenti, con mobilità diffusive anche diverse. Effettuo un'analisi della stabilità lineare degli stati di equilibrio del Modello, facendo una distinzione fra gli stati di equilibrio stazionari e quelli stazionari e omogenei. Studio, poi, la presenza di soluzioni di tipo Travelling Waves per il sistema, limitandomi al modello 1D. Infine, presento lo schema termodinamico, nell'ambito della Termodinamica estesa, che mi permette di derivare il modello di diffusione e reazione iperbolico di Barbera, Currò e Valenti, mettendo in evidenza due tempi di rilassamento. Esso rappresenta una correzione di tipo iperbolico del modello parabolico investigato prima: infatti nel momento in cui i tempi di ritardo tendono a zero, il modello si riduce a quello di Abramson e Kenkre. Dopo aver affrontato l'analisi della stabilità lineare degli stati di equilibrio stazionari e omogenei del modello, cerco soluzioni del tipo Travelling Waves, mettendo anche in evidenza le differenze, sia matematiche che sperimentali, rispetto ai risultati trovati nel caso parabolico.