Modelli biomatematici differenziali e stocastici

La previsione dei comportamenti delle malattie infettive e delle popolazioni di animali sono argomenti molto dibattuti e popolari al giorno d'oggi. Sempre più l'uomo tenta di salvaguardare specie animali in via di estinzione e prevedere e prevenire contagi sia umani che di bestiame. I modelli di biomatematica sono uno strumento essenziale per poter prevedere e quindi agire su questi fenomeni. Talvolta, però, i fenomeni naturali sfuggono dalle previsioni matematiche tradizionali, così, sempre più spesso i modelli differenziali vengono affiancati da modelli probabilistici. In questa tesi verranno messi a confronto modelli di biomatematica differenziali e stocastici (catene di Markov a tempo discreto - DTMC), si osserveranno differenze ed analogie tra i due modelli, i loro comportamenti e le loro previsioni mettendole a confronto con dati reali. In particolare si analizzeranno i modelli SIS e SIR a popolazione costante e si utilizzerà il modello SIR per modellizzare e far previsioni su due problemi reali: l'influenza in una scuola inglese e la peste ad Eyam del 1666. Osservando gli errori tra i modelli ed i dati reali si giungerà all'interessante risultato che le modellizzazioni stocastica e differenziale richiedono due parametrizzazioni differenti, secondo il criterio dell'errore quadratico. Si sono quindi introdotte le catene di Markov a tempo continuo ed il poco esplorato settore di modellizzazione tramite esse, specialmente per processi multivariati, e, adattando un teorema di probabilità, si è costruito un algoritmo per simularle tramite calcolatore. In particolare si sono trasposti in CTMC i modelli SIS e SIR e si sono introdotti due ulteriori modelli non realizzabili stocasticamente tramite DTMC: il modello Lotka-Volterra e il modello di "due popolazioni interagenti", evidenziando i loro comportamenti limite tramite simulazioni numeriche.