ll problema dell'integrazione in termini finiti: il teorema di Liouville

In questa tesi viene discusso il problema dell’integrazione in termini finiti. Non è sempre possibile infatti esprimere la primitiva di una funzione data tramite un numero finito di operazioni aritmetiche (somma, differenza, prodotto, divisione) di esponenziali, logaritmi, costanti e radici n-esime. La tesi è formata da tre capitoli. Nel primo capitolo vengono introdotti i prerequisiti di teoria dei campi e teoria di Galois necessari per la lettura. Nel secondo capitolo vengono sviluppati gli elementi di base dell’algebra differenziale, con particolare attenzione ai campi differenziali. Il secondo capitolo si chiude con il teorema di Liouville, uno dei risultati più noti della teoria dell’algebra differenziale. Nel terzo capitolo si applicano i risultati ottenuti nel secondo capitolo al campo differenziale C(z), e si definisce un criterio per stabilire se una specifica classe di funzioni ammette una primitiva elementare. Infine vengono presentati due esempi di funzioni che non ammettono una primitiva elementare.