An introduction to the polytope algebra

La tesi si occupa di dare una introduzione ad alcuni aspetti della teoria dei politopi. In particolare, studiamo alcuni degli strumenti usati da McMullen in una dimostrazione combinatorica del teorema sul g-vettore di un politopo semplice. Viene definita l'algebra dei politopi, e se ne studia nel dettaglio la struttura di algebra graduata su Q. Viene studiata una particolare famiglia di morfismi di gruppi verso R, legata al calcolo di volumi ed aree di dimensioni inferiori. Ad un politopo semplice P viene associata la sottoalgebra dell'algebra dei politopi generata dai suoi addendi di Minkowski. Questa è un'algebra graduata di dimensione finita, generata dai logaritmi dei politopi nella classe di isomorfismo forte di P. Si definisce lo spazio dei pesi su P e si mostra che ha la struttura di modulo sull'algebra di P. Si mostra che la serie di Hilbert dell'algebra di P coincide con l'h-vettore di P. Da ciò segue come corollario il teorema del limite superiore per i vettori delle facce di politopi.