Introduzione alla Teoria Dei Modelli e sue Applicazioni ai Campi Algebricamente Chiusi.

Questa tesi tratta la teoria dei modelli, branca della logica matematica che studia in modo astratto strutture matematiche attraverso lo studio delle formule del primo ordine che le caratterizzano. La tesi introduce nel primo capitolo tutte le nozioni necessarie di logica del primo ordine, come formule, teorie, modelli e soddisfacibilità, per poi esplorare e dimostrare nel secondo capitolo gli strumenti fondamentali nello studio di teorie. Questi includono il Teorema di Compattezza, i Teoremi di Lowenheim-Skolem, le definizioni di tipi in teorie e modelli e i Teoremi di Realizzazione e Omissione dei tipi. Il capitolo si conclude con le definizioni di modelli primi e atomici, e la loro relazione. Nel terzo capitolo si applicano gli strumenti descritti per studiare la teoria ACF dei campi algebricamente chiusi. Si dimostra innanzitutto che tale teoria ha eliminazione dei quantificatori, in seguito si mostra che fissando la caratteristica dei campi la teoria diviene completa, e se ne trovano quindi i modelli primi. Viene poi dimostrato il Principio di Lefschetz, che collega la veridicità di formule per campi di caratteristica finita a quella per campi di caratteristica 0, e come sua applicazione si esibisce il Teorema di Ax-Grothendieck. Infine si fornisce una dimostrazione del Teorema degli Zeri di Hilbert, facente uso dei precedenti risultati di teoria dei modelli.