Gruppi risolubili finiti

L’obiettivo di questa tesi è quello di fornire un’introduzione alla teoria dei gruppi risolubili finiti. Nel primo capitolo si dimostrano i Teoremi di Sylow, introducendo i p-sottogruppi di Sylow e studiandone alcune loro caratteristiche. Nel secondo capitolo si definiscono le serie di sottogruppi di un gruppo dato, ed in particolare si analizzano le serie di composizione. Nel terzo capitolo si introducono i gruppi risolubili. A partire dai concetti di commutatore e di sottogruppo derivato si definisce la serie derivata di un gruppo, strumento fondamentale per introdurre una caratterizzazione dei gruppi risolubili. Si studiano, inoltre, alcune proprietà dei gruppi risolubili. In particolare, si analizza il caso dei gruppi finiti; si mostra che ogni p-gruppo è risolubile e poi si estende tale risultato dimostrando che è risolubile anche un gruppo il cui ordine è il prodotto tra una potenza di un primo p ed un altro primo q. Nell’ultimo capitolo si propone la dimostrazione dei Teoremi di Hall. Essi rappresentano un importante risultato, perché estendono i Teoremi di Sylow al caso dei gruppi risolubili finiti; mostrano che, se un gruppo ha come ordine il prodotto di due interi positivi m ed n coprimi tra loro, allora esso ammette sempre almeno un sottogruppo di ordine m, detto sottogruppo di Hall. Inoltre, viene dimostrato che due sottogruppi di Hall dello stesso ordine sono coniugati.