Introduzione alla Geometria Algebrica e Teorema di Bézout

La geometria algebrica è un campo della matematica che coniuga l'algebra e la geometria per studiare sistemi di equazioni polinomiali a coefficienti in un dato campo K e, in generale, problemi di natura algebrico-geometrica. Una varietà affine è l'insieme delle soluzioni di tali sistemi di equazioni nonché massimo oggetto di studio della geometria algebrica. Nella tesi faremo vedere i legami che hanno queste varietà con l'algebra, mostrando come molte loro proprietà geometriche possano essere descritte da oggetti algebrici. Introdurremo successivamente il concetto di morfismi tra varietà affini, cioè un tipo particolare di funzioni che ne lascia invariate molte caratteristiche algebrico-geometriche, e il concetto di varietà, più moderno, che generalizza quello di varietà affine. Ci concentreremo su di un tipo particolare e molto importante di esse: le varietà proiettive. La scelta non è casuale, infatti come vedremo nella tesi queste varietà hanno un forte legame con le varietà affini. Come risultato finale per questa tesi ho scelto il teorema di Bézout, uno dei risultati più importanti della geometria algebrica. Grazie ad esso riusciremo a quantificare i punti di intersezione tra una curva e un generico iperpiano e nel caso planare tra due curve.