Sul Trasporto Ottimo

La teoria del trasporto ottimo consiste nel cercare un trasferimento efficiente di massa da un'area di origine a una di destinazione. Tale problema fu analizzato per la prima volta da Gaspard Monge nel XVIII secolo e, in seguito nel XX secolo, da Leonid Kantorovich. Una notevole conseguenza dei loro studi è che questi permettono di definire una metrica nello spazio delle misure di probabilità , definite su uno spazio sufficientemente regolare (uno spazio “polacco”): la distanza di Wasserstein. Questo permette di offrire una definizione geodetica, e dunque dinamica, tra due misure. Questo concetto è formalizzato in modo rigoroso dall’algoritmo di Benamou-Brenier. In questa tesi, dopo averli opportunamente introdotti, sfrutteremo gli argomenti per analizzare un problema di ottimizzazione di forma di tipo isoperimetrico, dove il classico perimetro di un insieme risulta in competizione con un termine repulsivo definito per mezzo della distanza di Wasserstein. Tale problema è stato recentemente introdotto da Peletier e Roger per descrivere la localizzazione parziale delle membrane cellulari a doppio strato lipidico. L’analisi che riportiamo è stata prodotta da Goldman e Candau-Tilh in un recente articolo. Precisamente, si mostra che insiemi ottimi esistono sempre, e che nel regime in cui la tensione superficiale (i.e. perimetro) risulta dominante, questi si localizzano stabilmente in forme sferiche. Tale analisi richiede lo studio di strumenti avanzati che stanno all’intersezione tra la teoria classica del trasporto ottimo, la regolarità per insiemi isoperimetrici e una moderna formulazione di principi di concentrazione-compattezza.