Integrabilità di automi cellulari classici e introduzione agli automi cellulari quantistici

In questa tesi si vogliono studiare gli automi cellulari (CA), in particolare focalizzandosi su esempi integrabili. Si vogliono anche introdurre automi cellulari quantistici (QCA). Gli automi cellulari, introdotti nel capitolo 1, sono modelli matematici in cui sia spazio che tempo sono presi come discreti. Lo spazio deve essere perciò reticolare e ad ogni sito del reticolo si può porre un sistema che può assumere un numero finito di valori, anch'essi dicreti. I CA hanno grandi potenzialità di applicazione in varie branche della scienza, tra cui biologia, informatica e chimica. Sono numerosi anche i sistemi fisici modellizzabili con automi cellulari. In particolare si hanno diverse applicazioni in fisica statistica e in fisica della materia condensata, per studiare fenomeni come la fluidodinamica o le transizioni di fase. Esempi canonici sono il modello di Ising e i cosiddetti lattice gas automata, dai quali è possibile derivare le equazioni di Navier-Stokes. In fisica, i modelli integrabili sono abbondantemente studiati in quanto possono essere risolti in maniera esatta e dunque permettono di essere analizzati molto nel profondo. Ciò spesso fornisce informazioni su comportamenti che anche sistemi simili a certi sistemi integrabili possono perpetrare, rendendoli più comprensibili. Si è perciò scelto di studiare degli esempi di automi cellulari integrabili del capitolo 3. Per farlo però, è stato prima necessario introdurre alcune nozioni di base di integrabilità, come l'integrabilità alla Liouville e concetti come i Lax pair e la matrice r. Ciò è stato fatto nel capitolo 2. Nell'ultimo capitolo di questo elaborato, infine, si sono introdotti gli automi cellulari quantistici. In essi, i sistemi posti su ogni sito non saranno più classici, ma quantistici, il che ne complica la definizione e la trattazione. I QCA forniscono un paradigma alernativo alla computazione quantistica e una naturale discretizzazione della teoria quantistica dei campi.