compattezza e separazione

In questa presentazione ci dedicheremo in un primo momento all’analisi dei ricoprimenti di spazi topologici, dapprima dando la definizione di che cosa effettivamente sia un ricoprimento di uno spazio topologico, ed una classificazione caratterizzata su macro-famiglie di proprietà; quindi parleremo di ricoprimenti aperti, chiusi e localmente finiti. In seguito affineremo la nostra trattazione passando a scandagliare varie tipologie di ricoprimenti, come: i ricoprimenti fondamentali, i quali legano la loro peculiarità di ricoprimento con il concetto di aperto topologico. Ci occuperemo poi degli spazi compattamenti generati, questi si riconoscono nel possedere la proprietà di separazione di Hausdorff, e uno specifico tipo di ricoprimento formato dai loro sottospazi compatti. Quindi sarà necessario anche riportare alla mente alcuni concetti riguardanti la compattezza e gli spazi di Hausdorff, qui avremo modo anche di mostrare il teorema di Wallace. Dal concetto di compattamente generato riusciremo inoltre ad ottenere un metodo per estendere qualunque spazio topologico ad uno spazio Kelleyficato. Nella seconda parte, dopo aver fissato la nozione di esaustione in compatti e visto alcune sue applicazioni, che richiederanno di rispolverare i concetti di connessione e componente connessa, avremo anche modo di fare una piccola ma dettagliata digressione riguardo un metodo classico di compattificazione: la compattificazione di Alexandroff. Passeremo poi a lavorare con i raffinamenti, quindi chiariremo che cosa si intenda per raffinamento, per poter accedere agevolmente all’esposizione di spazi paracompatti, e alle loro correlazioni con spazi compatti ed esaustioni in compatti. Successivamente ci focalizzeremo sugli spazi normali, mostrando come ogni spazio topologico di Hausdorff e paracompatto sia uno spazio normale. Infine definiremo i raffinamenti stellati e gli spazi pienamente normali, dando prova che ogni spazio pienamente normale sia anche normale.