Bartoli, Luca
(2021)
Partizioni Piane: Funzione Generatrice e Formula Ricorsiva.
[Laurea], Università di Bologna, Corso di Studio in
Matematica [L-DM270]
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Abstract
L’elaborato introduce il problema di conteggio delle partizioni piane, le quali si possono rappresentare intuitivamente come configurazioni di n cubi di uguali dimensioni spinti ordinatamente nell’angolo di una stanza, e costituiscono una generalizzazione delle più note partizioni di interi, alle quali è dedicata una digressione nel secondo capitolo.
Dopo aver raccolto gli opportuni strumenti algebrici e combinatorici nei capitoli terzo e quarto, si procede individuando una formula chiusa per la funzione generatrice delle partizioni piane con dei vincoli sulle dimensioni. La prova si compone in parte del Teorema di Viennot-Gessel, illustrato nel quinto capitolo, che sfrutta una corrispondenza tra le partizioni piane limitate e gli insiemi di cammini innestati su reticoli bidimensionali; e in parte da trasformazioni algebriche, che si servono tra le altre cose della formula di Krattenthaler per i determinanti. A partire da questo risultato si arriva, nell’ultimo capitolo, ad una formula chiusa per la funzione generatrice delle partizioni piane nel caso generale, dalla quale discende una formula di ricorrenza che permette di calcolare in maniera efficiente la soluzione del problema con n cubi, che è anche lo scopo della tesi.
Abstract
L’elaborato introduce il problema di conteggio delle partizioni piane, le quali si possono rappresentare intuitivamente come configurazioni di n cubi di uguali dimensioni spinti ordinatamente nell’angolo di una stanza, e costituiscono una generalizzazione delle più note partizioni di interi, alle quali è dedicata una digressione nel secondo capitolo.
Dopo aver raccolto gli opportuni strumenti algebrici e combinatorici nei capitoli terzo e quarto, si procede individuando una formula chiusa per la funzione generatrice delle partizioni piane con dei vincoli sulle dimensioni. La prova si compone in parte del Teorema di Viennot-Gessel, illustrato nel quinto capitolo, che sfrutta una corrispondenza tra le partizioni piane limitate e gli insiemi di cammini innestati su reticoli bidimensionali; e in parte da trasformazioni algebriche, che si servono tra le altre cose della formula di Krattenthaler per i determinanti. A partire da questo risultato si arriva, nell’ultimo capitolo, ad una formula chiusa per la funzione generatrice delle partizioni piane nel caso generale, dalla quale discende una formula di ricorrenza che permette di calcolare in maniera efficiente la soluzione del problema con n cubi, che è anche lo scopo della tesi.
Tipologia del documento
Tesi di laurea
(Laurea)
Autore della tesi
Bartoli, Luca
Relatore della tesi
Scuola
Corso di studio
Ordinamento Cds
DM270
Parole chiave
partizioni piane algebra enumerativa Viennot Gessel
Data di discussione della Tesi
24 Settembre 2021
URI
Altri metadati
Tipologia del documento
Tesi di laurea
(NON SPECIFICATO)
Autore della tesi
Bartoli, Luca
Relatore della tesi
Scuola
Corso di studio
Ordinamento Cds
DM270
Parole chiave
partizioni piane algebra enumerativa Viennot Gessel
Data di discussione della Tesi
24 Settembre 2021
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