Enumerazione di cammini reticolari

Questa tesi tratterà l'argomento dell'enumerazione dei cammini reticolari, ovvero una successione di punti nel reticolato euclideo dove ogni punto è determinato dal precedente aggiungendo (tramite la usuale somma termine a termine) un elemento dall'insieme dei passi. Affronteremo l'argomento avendo introdotto preliminarmente alcune restrizioni come, per esempio, l'imposizione che il cammino non entri in determinati sottoinsiemi del piano, oppure sull'insieme dei passi che vogliamo usare. Il primo capitolo è una premessa con gli strumenti principali che verranno utilizzati. Per quanto riguarda il calcolo umbrale molti dettagli sono stati omessi per favorire lo scorrimento del documento e per evitare di andare fuori argomento. Il secondo capitolo contiene alcuni tra i metodi che sono stati utilizzati per contare i cammini. Si è partiti da un problema reale, il Ballot Problem, e lo si è trasformato in un problema astratto, ovvero contare i cammini da (0,0) a (\beta, \alpha), chiedendo che l'ordinata rimanga sempre maggiore (o maggiore o uguale) di k volte l'ascissa, per un certo k intero positivo. La soluzione è stata data guardando il problema da punti di vista differenti: chi l'ha risolto dal punto di vista combinatorio, chi ha ridotto il calcolo a situazioni più semplici (usando il "metodo delle immagini" o il "lemma ciclico"), chi ha notato che una particolare applicazione del calcolo umbrale permetteva di trovare una formula per la soluzione, chi ha usato strumenti dell'analisi complessa e funzionale. Il terzo e ultimo capitolo contiene un rapido elenco di alcune successioni numeriche, e delle rispettive proprietà, che vengono generate a seconda di come scegliamo le restrizioni: i numeri di Catalan, di Narayana, di Schroeder, di Motzkin e di Delannoy.