Teoria del Trasporto Ottimale di Massa

L'obiettivo di questa tesi è quello di presentare la teoria del trasporto ottimale di massa nell'ambiente degli spazi polacchi e studiarne applicazioni alla registrazione di immagini. Più dettagliatamente, cominciamo richiamando alcuni risultati preliminari di teoria della misura. Introduciamo le due formulazioni del problema, dovute a Monge e a Kantorovich e, sotto opportune ipotesi per la funzione costo, proviamo l'esistenza di una soluzione per il problema di Kantorovich. Definiamo poi il problema dal punto di vista duale e dimostriamo l'esistenza, sotto opportune ipotesi, di un punto di massimo. Proviamo poi l'esistenza di mappe di trasporto nel caso discreto, quello semi-discreto, e nel caso di una funzione costo di quadrato sommabile. Analizziamo poi quest'ultimo problema nel caso particolare in cui le misure di probabilità siano assolutamente continue rispetto alla misura di Lebesgue, con densità periodiche. Mostriamo poi l'equivalenza fra questo problema e l'equazione di Monge-Ampère e proviamo la convergenza di un algoritmo per la soluzione di questa equazione. Proviamo che è possibile definire una distanza fra le misure di probabilità, a partire dalla soluzione del problema del trasporto ottimale di massa. Riportiamo, infine, una semplice applicazione della teoria del trasporto alla registrazione delle immagini, in particolare alla diagnosi della malattia della sclerosi multipla.