Stochastic Lotka-Volterra models: neutral and niche theories for biosystems

In questo lavoro di tesi sono stati studiati modelli stocastici per ecosistemi basati su equazioni di tipo Lotka-Volterra con componenti fluttuanti. E' stato affrontato per primo il modello preda-predatore aggiungendo un rumore additivo ed è stata risolta l'equazione linearizzata attorno all'equilibrio. Con una limitazione alla crescita delle prede e rumore moltiplicativo si è proposto poi un modello più completo di cui si può calcolare la distribuzione di probabilità all'equilibrio. Nel caso deterministico si è fatto un confronto con dati raccolti sull’Isle Royale. Il secondo passo è stato quello di considerare specie in competizione, nell'ambito delle teorie di nicchia, e le fluttuazioni dovute alla scarsa numerosità in presenza di immigrazione, nell'ambito delle teorie neutrali. La master equation è stata analizzata in dettaglio per una popolazione con crescita limitata e immigrazione. Il passaggio da una distribuzione Gaussiana a quella di Pareto mostra come sia cruciale la scelta della forma della fluttuazione. La teoria di nicchia è stata sviluppata per due popolazioni a crescita limitata in competizione tra loro e con immigrazione, studiando gli equilibri, la loro stabilità e le biforcazioni nel caso deterministico. Si è anche indicato come formulare la master equation per combinare teoria neutrale e di nicchia in un unico modello, come proposto da Haegeman. Si è infine delineato il caso più generale di N specie, composte sia da prede in competizione sia da predatori, presenti nello stesso ambiente. Si è studiato in dettaglio un ecosistema costituito da due prede e un predatore senza competizione tra le prede caratterizzando completamente gli equilibri e la loro natura. Un confronto con dati empirici su microrganismi ha mostrato un ottimo accordo con le predizioni del modello, aprendo la possibilità per una sua estensione che includa la competizione tra le prede al fine di descrivere anche il comportamento caotico osservato sperimentalmente.