Calisti, Matteo
(2018)
Misure di Hausdorff e formula dell'area in R^n.
[Laurea], Università di Bologna, Corso di Studio in
Matematica [L-DM270], Documento ad accesso riservato.
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Abstract
La misura di Lebesgue permette di misurare il volume degli oggetti n-dimensionali di R^n, ma tutti quelli di dimensione inferiore s come le superfici sono sottoinsiemi di R^n di misura di Lebesgue nulla. Non potendo definire una nozione, ad esempio, di "area" attraverso suddivisioni successive come per la lunghezza di una curva si ricorre alla teoria della misura definendo la misura di Hausdorff s-dimensionale. Viene dapprima esposta la teoria della misura nella sua generalità, con alcune proprietà delle misure astratte e della sigma-algebra di Borel, una loro classificazione e alcuni teoremi di ricoprimento (in particolare quello di Vitali) a cui si farà ricorso dopo. Successivamente vengono introdotte la premisura e misura di Hausdorff H^s, alcune sue prime proprietà e la dimensione di Hausdorff dim_H. Viene studiato il comportamento di H^s e dim_H sotto l'effetto di funzioni lipschitziane e bilipschitziane con studio della dimensione di Hausdorff dell'insieme di Cantor e un breve accenno ai frattali e la loro relazione con le funzioni bilipschitziane. Un tema centrale per poter introdurre la formula di area è la simmetrizzazione di Steiner: ne vengono dimostrate le proprietà principali e attraverso di essa si dimostra la disuguaglianza isodiametrica e l'uguaglianza tra le misure di Hausdorff e di Lebesgue, quando s=n. Infine si dimostra la formula dell'area dapprima per insiemi piatti e poi per insiemi parametrizzabili e nell'Appendice si giustifica l'utilizzo della costante di normalizzazione nella definizione di H^s.
Abstract
La misura di Lebesgue permette di misurare il volume degli oggetti n-dimensionali di R^n, ma tutti quelli di dimensione inferiore s come le superfici sono sottoinsiemi di R^n di misura di Lebesgue nulla. Non potendo definire una nozione, ad esempio, di "area" attraverso suddivisioni successive come per la lunghezza di una curva si ricorre alla teoria della misura definendo la misura di Hausdorff s-dimensionale. Viene dapprima esposta la teoria della misura nella sua generalità, con alcune proprietà delle misure astratte e della sigma-algebra di Borel, una loro classificazione e alcuni teoremi di ricoprimento (in particolare quello di Vitali) a cui si farà ricorso dopo. Successivamente vengono introdotte la premisura e misura di Hausdorff H^s, alcune sue prime proprietà e la dimensione di Hausdorff dim_H. Viene studiato il comportamento di H^s e dim_H sotto l'effetto di funzioni lipschitziane e bilipschitziane con studio della dimensione di Hausdorff dell'insieme di Cantor e un breve accenno ai frattali e la loro relazione con le funzioni bilipschitziane. Un tema centrale per poter introdurre la formula di area è la simmetrizzazione di Steiner: ne vengono dimostrate le proprietà principali e attraverso di essa si dimostra la disuguaglianza isodiametrica e l'uguaglianza tra le misure di Hausdorff e di Lebesgue, quando s=n. Infine si dimostra la formula dell'area dapprima per insiemi piatti e poi per insiemi parametrizzabili e nell'Appendice si giustifica l'utilizzo della costante di normalizzazione nella definizione di H^s.
Tipologia del documento
Tesi di laurea
(Laurea)
Autore della tesi
Calisti, Matteo
Relatore della tesi
Scuola
Corso di studio
Ordinamento Cds
DM270
Parole chiave
misura Hausdorff Lebesgue jacobiano parametrizzabile piatto sard disuguaglianza isodiametrica simmetrizzazione steiner misurabile insieme metrico sigma algebra svd frattali Cantor dimensione lipschitziana funzione bilipschitziana Federer Falconer ricoprimento Vitali Borel Radon premisura esterna Besicovitch invarianzia subadditività additività monotonia Beltrami determinante coordinate sferiche n dimensionali polari isometrie matrice ortogonale superficie s volume area formula
Data di discussione della Tesi
14 Dicembre 2018
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Tipologia del documento
Tesi di laurea
(NON SPECIFICATO)
Autore della tesi
Calisti, Matteo
Relatore della tesi
Scuola
Corso di studio
Ordinamento Cds
DM270
Parole chiave
misura Hausdorff Lebesgue jacobiano parametrizzabile piatto sard disuguaglianza isodiametrica simmetrizzazione steiner misurabile insieme metrico sigma algebra svd frattali Cantor dimensione lipschitziana funzione bilipschitziana Federer Falconer ricoprimento Vitali Borel Radon premisura esterna Besicovitch invarianzia subadditività additività monotonia Beltrami determinante coordinate sferiche n dimensionali polari isometrie matrice ortogonale superficie s volume area formula
Data di discussione della Tesi
14 Dicembre 2018
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