Superfici minimali

Questa tesi è dedicata allo studio delle superfici minimali nello spazio euclideo R3. Oggi questa teoria ha una vasta gamma di applicazioni in vari settori della ricerca, quali la chimica, la biologia e l' architettura. Le origini della teoria delle superfici minimali possono essere ricondotte al 1744 con gli studi di Eulero e Lagrange. Eulero mostrò che la catenoide è una superficie minimale, e Lagrange scrisse l'equazione alle derivate parziali che deve essere soddisfatta affinchè una superficie della forma z = F(x,y) sia minimale. Nel 1776, Meusnier riscoprì la catenoide e mostrò che anche l'elicoide è una superficie minimale. Il mondo matematico dovette aspettare poi più di 50 anni prima che fossero scoperti nuovi esempi da Scherk. Il problema che diede spunto e importanza allo studio di queste superfici fu il cosidetto "Problema di Plateau", cioè quello di trovare, tra tutte le superfici aventi delle curve date come bordo, quella con area minima. Il lavoro è stato suddiviso in tre capitoli: il primo capitolo è un semplice riepilogo di elementi e risultati di base, utili per la trattazione dell'argomento. In particolare si richiamano i concetti di superficie regolare, spazio tangente, area e curvatura media (geometria differenziale); e di funzioni olomorfe, armoniche (analisi complessa). Il secondo capitolo presenta le superifici minimali, ne spiega le principali proprietà e ne espone qualche esempio. In particolare si fa attenzione alla differenza tra superfici minimali, così come sono definite, e le superfici di area minima, quelle che risolvono il "Problema di Plateau". Tra gli esempi presentati vi sono: elicoide e catenoide (isometriche tra loro), superfici di rotazione, Enneper e Scherk. Nel terzo ed ultimo capitolo vi è una trattazione abbastanza approfondita dei legami tra superfici minimali e le funzioni olomorfe.