Kazhdan-Lusztig Conjecture and Moment Graphs

Si presenta la congettura di Kazhdan-Lusztig del 1979 sui caratteri dei moduli semplici nel blocco principale della categoria O di Bernstein-Gel'fand-Gel'fand. Si introducono dapprima: sistemi di Coxeter, algebra di Hecke, polinomi di Kazhdan-Lusztig, categoria O (definizione e proprietà principali, con particolare attenzione agli oggetti semplici e alla suddivisione in blocchi). Quindi si espone un'interpretazione geometrica dei coefficienti dei polinomi di Kazhdan-Lusztig in termini di dimensione della coomologia delle fibre del complesso di intersezione sulle una varietà di Schubert, fornendo una ragione per la positività dei coefficienti, nel caso di sistemi di Coxeter associati a gruppi algebrici riduttivi. Si passa poi ad esporre una strategia di dimostrazione della congettura: si introduce una deformazione della categoria O che permette di riformulare la congettura in termini di rango delle spighe dei fasci di Braden-MacPherson sui grafi dei momenti, il quale a sua volta può essere riespresso in termini della dimensione della coomologia di intersezione locale delle varietà di bandiera. Quest'ultimo passaggio è possibile grazie alle nozioni di fasci di parità e coomologia equivariante.