N=2 gauge theories from the ODE-IM correspondence perspective

Nel presente elaborato di tesi, D. Gregori ha sviluppato un metodo ricorsivo molto efficiente, per calcolare gli integrali del moto locali delle teorie conformi quantistiche. Tale calcolo è stato svolto nel contesto della corrispondenza ODE/IM, tra certe equazioni di Schrödinger e i modelli integrabili conformi. A tal fine, è stato sfruttato il semplice comportamento ricorsivo dei cosiddetti polinomi di Gelfand-Dikii, grazie anche a una precedente dimostrazione di D. Fioravanti, concernente l’espansione asintotica, per grande energia, della funzione d’onda. Inoltre, D. Gregori, ha adattato tale dimostrazione alla cosiddetta espansione WKB (nota anche come approssimazione WKB), cioè per piccola constante di Planck, ottenendo così una ricorsione efficiente anche per questo noto metodo di soluzione delle equazioni di Schrödinger con singolarità. Questo nuovo approccio all’approssimazione WKB ha permesso di dimostrare una congettura di W. He a Y. Miao, nel contesto delle teorie di gauge con N = 2 supersimmetrie (SUSY). Inoltre, nel presente elaborato, è stato parzialmente completato un lavoro, molto incompleto e pubblicato postumo, di Al. B. Zamolodchikov, riguardo alla costruzione della corrispondenza ODE/IM per il modello di Liouville, ovvero per carica centrale c ≥ 25. L’equazione della ODE/IM da utilizzare, in questo caso, è l’equazione di Mathieu Generalizzata, così battezzata da Al. B. Zamolodchikov. Per il caso c = 25 "autoduale", tale equazione si riduce all’equazione di Mathieu e questo permette una diretta connessione con le teorie di gauge N = 2 SUSY. In questo caso autoduale, D. Gregori ha dimostrato una congettura di Al. B. Zamolodchikov, secondo cui la funzione T di Baxter delle teorie integrabili coincide con il coseno dell’indice di Floquet dell’equazione di Mathieu; dove quest’ultimo è proporzionale alla deformazione quantistica (nel limite di Nekrasov-Shatashvili) del ciclo classico di Seiberg-Witten, delle teorie di gauge con N = 2 SUSY.