Dinamica e quantizzazione di una particella in spazio curvo

Il lavoro di tesi si propone di studiare, prima da un punto di vista classico e poi quantistico, il comportamento di una particella massiva vincolata su una varietà differenziale dotata di tensore metrico. Per approcciare il problema classico viene utilizzata la formulazione variazionale, che ci permette di ottenere le equazioni del moto per la particella e di identificare queste curve con il percorso più breve che collega due punti dello spazio curvo, ovvero con le geodetiche metriche. Vengono inoltre analizzate le simmetrie continue del sistema, che forniscono, in base al teorema di Noether, gli integrali primi del moto e che vedremo essere legate ai vettori di Killing del tensore metrico. Nel quarto capitolo invece viene quantizzato il sistema, a partire dall'invarianza del prodotto scalare tra gli stati per cambio di coordinate. È proprio questa invarianza infatti che permette di poter ottenere le giuste rappresentazioni covarianti degli operatori quantistici, oltre a garantire la conservazione dei valori di aspettazione di questi operatori sugli stati del sistema. Studiando l'invarianza del prodotto scalare otteniamo una prima rappresentazione per l'operatore hamiltoniano della particella, ma, sebbene covariante e autoaggiunto, non risulta l'unico oggetto con queste proprietà. Infatti la covarianza e l'autoaggiunzione sono garantite anche se aggiungiamo un termine proporzionale alla curvatura dello spazio su cui è vincolata la particella. Questo termine, parametrizza le ambiguità dovute all'ordinamento degli operatori quanto-meccanici quando cerchiamo di quantizzare un sistema classico e, scompare nel limite in cui la costante di Planck tende a zero. Infine, nell'ultimo capitolo vedremo il caso della particella relativistica mostrandone le simmetrie continue e studieremo quantisticamente il caso di una particella massiva vincolata sulla superficie di una sfera unitaria.