Complessi di Koszul

Lo scopo di questa tesi è lo studio dei complessi di Koszul, che per le loro proprietà rappresentano un importante strumento che consente di collegare algebra omologica e commutativa. La tesi è divisa in cinque capitoli. Nel primo capitolo vengono richiamati gli elementi di algebra commutativa e di algebra omologica necessari ai capitoli successivi. Nel secondo capitolo vengono raccolte nozioni relative ad anelli e moduli graduati e si introduce la funzione di Hilbert di un anello graduato su un campo. Nel capitolo tre vengono presentati risultati relativi alle successioni regolari e alla profondità di un modulo. Il teorema di Rees dà una descrizione omologica della profondità di un ideale attraverso il funtore Ext. Nel quarto capitolo viene introdotto il complesso di Koszul di un'applicazione lineare e in particolare di successioni finite di elementi di un anello, vengono studiate le proprietà di tale complesso ed enunciato il famoso risultato di Serre riguardante la molteplicità di intersezione di varietà algebriche. La tesi si conclude con un capitolo contente la costruzione esplicita del complesso di Koszul per successioni di lunghezza due e tre e la discussione di un esempio significativo. Si tratta del cono sulla famosa curva di Macaulay che viene intersecato con un piano passante per il vertice. In questo esempio la definizione intuitiva di molteplicità di intersezione deve essere corretta utilizzando le lunghezze dei moduli di omologia del complesso di Koszul, secondo il risultato di Serre.