A new convergence model for the GMRES method

Tra i metodi sugli spazi di Krylov, il metodo gmres (Generalized Minimal RESidual) è particolarmente adatto per risolvere sistemi non simmetrici di grandi dimensioni. Esso tuttavia diventa inutilizzabile quando presenta una convergenza troppo lenta. Analizzarne la convergenza è dunque molto importante per rendere il suo utilizzo più agevole, ma anche al fine di comprendere il comportamento di altri algoritmi non necessariamente ottimali. In questa tesi viene analizzato il particolare caso in cui la matrice del sistema, A, è diagonalizzabile e quasi unitaria, e tuttavia presenta mal condizionamento a causa di un piccolo gruppo di autospazi particolarmente vicini tra loro. Vengono trattati entrambi i casi in cui i relativi autovalori sono lontani o vicini a loro volta. Quando quest’ultima eventualità si verifica, il polinomio di gmres si comporta come se il metodo fosse stato applicato al sistema in cui A è sostituita da una matrice a blocchi di Jordan, avente al posto di tali autovalori vicini la loro media aritmetica. Il principale risultato di questa tesi consiste nella formulazione di un problema di ottimizzazione vincolata, la cui soluzione non si limita a rappresentare una stima per la curva di convergenza di gmres, ma ne descrive il comportamento,rivelandosi di fatto un nuovo modello di convergenza.