Path integrals on curved space and the worldline formalism

Lo scopo primario di questa tesi e' l’analisi di una nuova procedura di regolarizzazione di path integral su spazi curvi, presentata inizialmente dal fisico J. Guven e applicata al caso di una teoria di campo scalare , ma mai utilizzata per svolgere ulteriori calcoli espliciti. Questa procedura, se corretta, permetterebbe di utilizzare il formalismo di path integral su spazi piatti anche nel caso in cui la varieta' di background risulti localmente curva. Tale procedura trasforma di fatto un modello sigma non lineare in un modello efficace lineare, permettando pertanto di aggirare le usuali complicazioni dovute alla generalizzazione di path integral. Una prova diretta della correttezza della procedura di Guven sembra mancare in letteratura: per questo motivo in questa tesi verranno eseguiti vari test volti a tale verifica. Alcuni errori sono stati riscontrati nella proposta iniziale, tra i quali un termine di potenziale che risulta essere non corretto. Ad ogni modo siamo stati in grado di identificare un potenziale che permetta di riprodurre correttamente i primi due coefficienti dell’espansione in serie dell’heat kernel. Utilizzando lo stesso metodo abbiamo poi cercato di ottenere il successivo coefficiente dell’espansione (cubico in termini di curvatura): il risultato ottenuto non risulta essere corretto, cosa che segnala il fallimento di tale metodo ad ordini superiori. Visti tali risultati preliminari, siamo stati indotti a considerare una classe speciale di spazi curvi, quella degli spazi massimamente simmetrici, trovando invece che su tali spazi la procedura di Guven riproduce i risultati corretti. Come verifica abbiamo ottenuto la parte diagonale dell’heat kernel, che ́ stata poi utilizzata per riprodurre l’anomalia di traccia di tipo A per campi scalari in dimensioni arbitrarie fino a D = 12. Questi risultati sono in accordo con quelli attesi. Viene pertanto fornita una prova della validita' di tale procedura su questi spazi.