From determinism in dynamical systems to a stochastic characterisation: the central role of the ergodic theorem in statistical mechanics

La meccanica statistica mette in relazione le proprietà macroscopiche dei sistemi termodinamici classici con la dinamica dei loro costituenti microscopici fornendone una descrizione statistica. Alle fondamenta di questo contesto teorico risiede la tensione tra due diverse nozioni di probabilità di trovare il sistema in una specifica regione dello spazio delle fasi. Essa può essere intesa infatti come frazione temporale trascorsa dalla traiettoria del sistema all'interno della regione oppure, nel contesto degli ensemble, come integrale della funzione indicatrice di tale regione rispetto a un'opportuna misura. Il problema ergodico consiste nello stabilire sotto quali condizioni la media temporale a tempo infinito coincide quasi ovunque con la corrispondente media spaziale. L'elaborato esamina la proprietà di ergodicità come sua soluzione seguendo il percorso storico e concettuale che dall'ipotesi di Boltzmann conduce al teorema ergodico di Birkhoff. Illustrando prima l'identificazione tra ergodicità e legge dei grandi numeri viene poi delineata l'intera gerarchia ergodica: vengono analizzate la proprietà di mixing e le caratteristiche dei sistemi di Kolmogorov e dei sistemi di Bernoulli. Questi ultimi, pur avendo anch'essi una dinamica deterministica, sono metricamente isomorfi ad uno schema di Bernoulli, ossia un sistema stocastico che formalizza la dinamica di una successione di variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite.