Teoria di Floquet e sue applicazioni in meccanica quantistica

La soluzione generale dell’equazione di Schrödinger, quando l’hamiltoniana dipende esplicitamente dal tempo, è espressa tramite l’operatore di evoluzione temporale U (t, t0) nella forma di un esponenziale time-ordered. Tali soluzioni risultano analiticamente difficili da calcolare; tuttavia, si semplificano notevolmente quando l’hamiltoniana è periodica, ˆ︁ H(t + T ) =ˆ︁ H(t). In particolare, il teorema di Floquet stabilisce che le soluzioni del problema di Schrödinger possono essere scritte come prodotto di una componente periodica, avente lo stesso periodo dell’hamiltoniana, e una fase dipendente linearmente dal tempo. In questo elaborato viene presentata la teoria di Floquet e il relativo formalismo nella meccanica quantistica, con le definizioni degli stati di Floquet e delle quasienergie del sistema. Viene inoltre discusso l’approccio di Shirley-Floquet, che riduce il problema di Schr¨odinger dipendente dal tempo a un problema agli autovalori indipendente dal tempo nello spazio di Hilbert esteso Hext = L2[0, T ] ⊗ H. Infine, la teoria viene applicata allo studio di un sistema a due livelli in campi oscillanti, modello che matematicamente descrive uno spin-1/2 in un esperimento NMR oppure una transizione ottica di un atomo interagente con una radiazione classica. Nel caso di polarizzazione circolare del campo, il problema ammette una soluzione analitica esatta. Per il caso della polarizzazione lineare, invece, vengono implementati tre metodi di approssimazione per le soluzioni: l’approssimazione di onda rotante (RWA), l’integrazione numerica dell’equazione di Schrödinger tramite il metodo di Runge-Kutta, per ottenere l’operatore di evoluzione temporale U (t, t0), e il metodo di Shirley-Floquet con il troncamento dello spazio di Hilbert esteso a un numero finito di modi di Fourier. Si discutono infine i risultati ottenuti e i loro limiti di validità.