Spazi Localmente Compatti e il Teorema di Riesz per i Funzionali Positivi

La presente tesi è dedicata allo studio del Teorema di Rappresentazione di Riesz per i funzionali positivi definiti sullo spazio delle funzioni continue a supporto compatto C_c(X), con X uno spazio di Hausdorff localmente compatto. Il lavoro si apre con una raccolta dei principali risultati preliminari necessari allo sviluppo della teoria. Dopo aver richiamato alcune proprietà degli spazi localmente compatti, vengono presentati il Lemma di Urysohn, la partizione dell'unità e gli strumenti fondamentali della teoria della misura, tra cui la costruzione delle misure mediante il teorema di Carathéodory, le misure di Radon, le misure con segno e quelle complesse. Successivamente viene sviluppata la dimostrazione del Teorema di Rappresentazione di Riesz. Si prosegue rafforzando le ipotesi del precedente teorema per ottenere più regolarità sulla misura che rappresenta il funzionale. Il terzo capitolo è volto alla generalizzazione del Teorema di Riesz e si dimostra che il duale dello spazio delle funzioni continue a supporto compatto è isomorfo allo spazio delle misure complesse. Il quarto capitolo è dedicato alle principali applicazioni del Teorema di Riesz: 1) duale degli spazi L^p 2) Misura di una funzione monotona 3) nucleo di Poisson. L'ultimo capitolo è dedicato allo studio della struttura topologica dello spazio C_c(X). In particolare, viene introdotta la topologia di limite induttivo, che permette di interpretare naturalmente la continuità dei funzionali lineari su C_c(X) e di inquadrare il Teorema di Riesz nel contesto degli spazi vettoriali topologici.